Через середину $M$ произвольной хорды $PQ$ окружности $\Omega$ проведены две хорды $AB$ и $CD$ (точки $A$ и $C$ лежат по одну сторону $PQ$), см. рис. 1. Отрезки $AD$ и $BC$ пересекают $PQ$ в точках $X$ и $Y$ соответственно. Докажите, что точка $M$ — середина $XY$.
Рис. 1
Доказательство.
Проведем через точку $A$ прямую, параллельную $PQ$, для того чтобы добавить в имеющийся чертеж эти некоторые равные геометрические элементы, см. рис. 2. Пусть $K$ — точка пересечения проведенной прямой и $\Omega$.
Определите равные геометрические элементы на данном чертеже.
Рис. 2
Определите равные геометрические элементы на данном чертеже.
Перейдем к рис. 3.
1) $MA = MK$, поскольку $PAKQ$ — равнобедренная трапеция, $\triangle PAM$ и $\triangle MKQ$ равны (по двум сторонам $AP = KQ$, $PM = MQ$ и углу между ними $\angle P = \angle Q$).
2) Углы, отмеченные оранжевыми дужками, равны (как накрест лежащие углы и углы при основании в равнобедренном треугольнике).
Обратите внимание, что для доказательства $XM = MY$ достаточно обосновать равенство $\triangle XAM$ и $\triangle MKY$, а для равенства этих треугольников осталось показать, что $\angle XAM = \angle MKY$.
1) $MA = MK$, поскольку $PAKQ$ — равнобедренная трапеция, $\triangle PAM$ и $\triangle MKQ$ равны (по двум сторонам $AP = KQ$, $PM = MQ$ и углу между ними $\angle P = \angle Q$).
2) Углы, отмеченные оранжевыми дужками, равны (как накрест лежащие углы и углы при основании в равнобедренном треугольнике).
Рис. 3
Обратите внимание, что для доказательства $XM = MY$ достаточно обосновать равенство $\triangle XAM$ и $\triangle MKY$, а для равенства этих треугольников осталось показать, что $\angle XAM = \angle MKY$.
Рассмотрим четырехугольник $AKCB$, см. рис. 4.
$AKCB$ вписан в $\Omega$, тогда для противоположных углов выполняется условие $\angle A + \angle C = \pi$.
Рис. 4
$AKCB$ вписан в $\Omega$, тогда для противоположных углов выполняется условие $\angle A + \angle C = \pi$.
Рассмотрим четырехугольник $MKCY$, см. рис. 5.
$\angle M + \angle C = \pi$, тогда четырехугольник $MKCY$ является вписанным (обозначим описанную около $MKCY$ окружность через $\omega$).
Рис. 5
$\angle M + \angle C = \pi$, тогда четырехугольник $MKCY$ является вписанным (обозначим описанную около $MKCY$ окружность через $\omega$).
Перечертим рис. 5 для более ясного представления вписанных в окружности $\omega$ и $\Omega$ углов, см. рис. 6.
Рис. 6
На рис. 7 утолщенной розовой дужкой обозначены равные вписанные углы, которые опираются на равные дуги, принадлежащие окружностям $\omega$ и $\Omega$.
Рис. 7
Таким образом, $\triangle XAM$ и $\triangle MKY$ равны по стороне и двум прилежащим углам. Следовательно, $XM = MY$ как стороны, расположенные против равных углов.
⬛
* * *
hide
